Решите уравнение 16cos^4 x-24cos^2 x+9=0. Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [2 пи; 3 пи]

1. Преобразуем уравнение и выделим квадрат разности двух выражений:

16cos^4x - 24cos^2x + 9 = 0; (2cosx) ^4 - 6 * (2cosx) ^2 + 9 = 0; ((2cosx) ^2) ^2 - 2 * (2cosx) ^2 * 3 + 3^2 = 0; ((2cosx) ^2 - 3) ^2 = 0; (2cosx) ^2 - 3 = 0; (2cosx) ^2 = 3; 2cosx = ±√3; cosx = ±√3/2.

2. Находим корни для каждого значения:

[cosx = √3/2;

[cosx = - √3/2; [x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z;

[x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z; x = ±π/6 + πk, k ∈ Z.

3. Промежутку [2π; 3π] принадлежат два корня:

k = 2; x = π/6 + 2π = 13π/6; k = 3; x = - π/6 + 3π = 17π/6.

Ответ: 13π/6 и 17π/6.