Решите уравнение: 16cos^{4}x - 24cos^{2} x+9=0[tex]

Решим тригонометрическое уравнение:

16cos⁴x - 24cos²x + 9 = 0;

Выполним замену cos²x = а:

16 а² - 24 а + 9 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 24) ² - 4 * 16 * 9 = 576 - 576 = 0;

D › 0, значит:

а1 = а2 = ( - b - √D) / 2a = (24 - √0) / 2 * 16 = (24 - 0) / 32 = 24 / 32 = 3/4;

Тогда, если а = 3/4, то:

cos²x = а;

cos²x = 3/4;

(cosx - √3/2) (cosx + √3/2) = 0;

1) cosx - √3/2 = 0;

cosx = √3/2;

х = ± arccos (√3/2) + 2πn, n ∈ Z;

х1 = ± π/6 + 2πn, n ∈ Z;

2) cosx - √3/2 = 0;

cosx = - √3/2;

х = ± arccos ( - √ 3/2) + 2πn, n ∈ Z;

х = π ± arccos (√3/2) + 2πn, n ∈ Z;

х2 = π ± π/6 + 2πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = ± π/6 + 2πn, n ∈ Z, х2 = π ± π/6 + 2πn, n ∈ Z

.