Решите систему уравнений х^2 + y^2=5 и ху=2

Решение:

Добавим и отнимем слагаемое 2xy от левой части уравнения:

x^2 + y^2=5;

x^2 + y^2 + 2xy - 2xy = 5;

(x + y) ^2 - 2xy - 5 = 0;

Подставим значение xy в уравнение:

(x + y) ^2 - 2 * 2 - 5 = 0;

(x + y) ^2 - 9 = 0;

(x + y) ^2 - 3^2 = 0;

Преобразуем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a - b) * (a + b);

(x + y - 3) * (x + y + 3) = 0;

Получим систему уравнений:

x + y - 3 = 0;

x + y + 3 = 0;

Из xy = 2 выразим x:

x = 2/y;

Подставим x в первое уравнение системы:

2/y + y - 3 = 0;

y^2 - 3y + 2 = 0;

y12 = (3 ± 1) / 2;

y1 = 2; y2 = 1;

x1 = 1; x2 = 2;

Подставим x во второе уравнение системы:

2/y + y + 3 = 0;

y^2 + 3y + 2 = 0;

y12 = (-3 ± 1) / 2

y1 = - 1; y2 = - 2;

x1 = - 2; x2 = - 1;

Ответ: корни уравнений x = ± 1; x = ± 2; y = ± 1; y = ± 2.