5. На столе лежат 20 экзаменационных билетов. Студент может ответить на "отлично" с вероятностью 0,9 на 10 билетов, с вероятностью 0,8 - на 8 билетов и с вероятностью 0,5 - на 2 билета. Найти вероятность того, что студент ответит на "отлично", если билет взят наудачу.

Примем следующие гипотезы:

Гипотеза H1 - взят один билет из 10 с вероятностью отличного ответа 0,9.

Гипотеза H2 - взят один билет из 8 с вероятностью отличного ответа 0,8.

Гипотеза H3 - взят один билет из 2 с вероятностью отличного ответа 0,5.

Вероятности гипотез:

P (H1) = 10/20 = 1/2;

P (H2) = 8/20 = 2/5;

P (H3) = 2/20 = 1/10;

Пусть А - событие такое, что студент ответил на отлично.

Условная вероятность события A при выполнении гипотезы H1:

P (A|H1) = 0,9;

Условная вероятность события A при выполнении гипотезы H2:

P (A|H2) = 0,80;

Условная вероятность события A при выполнении гипотезы H3:

P (A|H3) = 0,5;

По формуле полной вероятности вероятность того, студент ответит на отлично:

P (A) = (P (H1) · P (A|H1) + P (H2) · P (A|H2) + P (H3) · P (A|H3)) =

= (1/2 · 0,9 + 2/5 · 0,8 + 1/10 · 0,5) =,45 + 0,32 + 0,05 = 0,82.

Ответ: Вероятность того, что студент ответит на отлично 0,82.