Два натуральных числа при деле ним на 4 дают в остатке соответсвенно 1 и 3 докажет что сумма кубов этих чисел делятся на 4

Если числа при делении на 4 дают в остатке 1 и 3, то их можно записать в виде (4n + 1) и (4m + 3).

Находим сумму кубов этих чисел:

(4n + 1) ^3 + (4m + 3) ^3 =

= 64n^3 + 3 * 16n^2 * 1 + 3 * 4n * 1 + 1 + 64m^3 + 3 * 16m^2 * 3 + 3 * 4m * 9 + 27 =

= 64n^3 + 48n^2 + 12n + 1 + 64m^3 + 144m^2 + 96m + 27 =

= 64n^3 + 48n^2 + 12n + 64m^3 + 144m^2 + 96m + 28 =

= 4 (16n^3 + 12n^2 + n + 16m^3 + 36m^2 + 24m + 7).

Ответ. Сумма кубов двух чисел разложена на множители, один из которых равен 4, следовательно, указанная сумма делится на 4.