Решите систему: { 1 x-1 + 2 x-2 - 6 x-3 ≥0 √ x2+34≥6 √ x2+34≥6

Решим сначала каждое неравенство отдельно.

1) 1 / (x - 1) + 2 / (x - 2) - 6 / (x - 3) ≥ 0.

Приведем дроби к общему знаменателю.

((х - 2) (х - 3) + 2 (х - 1) (х - 3) - 6 (х - 1) (х - 2)) / (х - 1) (х - 2) (x - 3) ≥ 0;

(х² - 5x + 6 + 2 (х² - 4 х + 3) - 6 (х² - 3 х + 2)) / (х - 1) (х - 2) (x - 3) ≥ 0;

(х² - 5x + 6 + 2 х² - 8 х + 6 - 6 х² + 18 х - 12) / (х - 1) (х - 2) (x - 3) ≥ 0;

(-3 х² + 15 х) / (х - 1) (х - 2) (x - 3) ≥ 0.

Вынесем - х в числителе за скобку:

-х (3 х - 5) / (х - 1) (х - 2) (x - 3) ≥ 0.

Умножим неравенство на (-1), знак неравенства перевернется.

х (3 х - 5) / (х - 1) (х - 2) (x - 3) ≤ 0.

Решим неравенство методом интервалов. Находим корни неравенства:

х = 0.

3 х - 5 = 0; 3 х = 5; х = 5/3 = 1 2/3.

х - 1 = 0; х = 1 (не входит в промежуток, это корень из знаменателя).

х - 2 = 0; х = 2 (не входит в промежуток).

х - 3 = 0; х = 3 (не входит в промежуток).

Отмечаем на числовой прямой точки 0, 1, 1 1/3, 2 и 3 (точки 1, 2 и 3 выкалываем), выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-) 0 (+) 1 (-) 1 1/3 (+) 2 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства ≤ 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; 0], (1; 1 2/3] и (2; 3).

2) √ (x² + 34) ≥ 6.

Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня.

x² + 34 ≥ 36;

x² + 34 - 36 ≥ 0;

x² - 2 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = x² - 2, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x² - 2 = 0; x² = 2; х = - √2 и х = √2.

Так как неравенство имеет знак ≥ 0, значит решением неравенства будут промежутки (-∞; - √2] и [√2; + ∞).

3) Отмечаем на одной прямой оба решения неравенств, решение системы неравенств: (-∞; - √2], [√2; 1 2/3], (2; 3).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; - √2], [√2; 1 2/3] и (2; 3).