Доказать, что сумма чисел 2 в 2011 степени и 3 в 2011 степени кратна числу 5.

1. Представим число 2011 в виде:

2011 = 2008 + 3 = 4 * 502 + 1.

2. Составим сравнение для каждой степени:

a) 2^2011;

2^4 ≡ 16 (mod 5); 2^4 ≡ 1 (mod 5); 2^ (4 * 502) ≡ 1 (mod 5); 2^2008 ≡ 1 (mod 5); 2^2011 ≡ 8 (mod 5); 2^2011 ≡ 3 (mod 5). (1)

b) 3^2011;

3^4 ≡ 81 (mod 5); 3^4 ≡ 1 (mod 5); 3^ (4 * 502) ≡ 1 (mod 5); 3^2008 ≡ 1 (mod 5); 3^2011 ≡ 27 (mod 5); 3^2011 ≡ 2 (mod 5). (2)

3. Сложим сравнения (1) и (2):

2^2011 + 3^2011 ≡ 3 + 2 (mod 5); 2^2011 + 3^2011 ≡ 0 (mod 5).

2^2011 + 3^2011 делится на 5.

Утверждение доказано.