Исследовать функцию (обязательно по пунктам с вычислениями) f (x) = 2x^4 + (8/3) x^3 1. Область определения 2. Область изменения 3. Чётность 4. Периодичность 5. Точки пересечения графика с осями координат 6. Промежутки знака постоянства 7. Промежутки возрастания, убывания 8. Точки экстремума, значение функции в этих точках 9. Поведение функции в окрестности "особых" точек при больших по модулю х (дополнительные точки)

f (x) = 2x^4 + (8/3) x^3. 1. Область определения: D (f) = R - все множество действительных чисел. 2. Область изменения: от - 2/3 до + бесконечности. 3. Четность: f (-x) = 2 * (-x) ^4 + (8/3) * (-x) ^3 = 2x^4 - 8/3x^3 - функция не является ни четной, ни нечетной. 4. Периодичность: функция не является периодичной. 5. Пересечение с ОХ: f (x) = 0, 2x^4 + (8/3) x^3 = 0, x^3 (2x + 8/3) = 0, x = 0, x = - 4/3 (0, 0), (-4/3, 0) - точки пересечения с осью ОХ. Пересечение с ОУ: х = 0, у = 0. (0, 0) - пересечение с осью ОУ. 6. Промежутки знакопостоянства: 2x^4 + (8/3) x^3 > 0, x^3 (2x + 8/3) > 0, x^3 (x + 4/3) >0, Отмечаем на числовой прямой точки 0, - 4/3, проверяем знаки на получившихся промежутках, получаем, что f (x) >0 при х принадлежащем промежуткам (-беск; - 4/3) и (0; + беск). f (x) 0, f' (x) 0, 8x^2 * (x + 1) >0, Отмечаем на числовой оси точки 0, - 1, методом интервалов находим решения неравенства: f' (x) >0 на промежутке (-1; 0) и (0; + беск.) - график функции возрастает; f' (x) >0 на промежутке (-беск.; - 1) - график функции убывает. 8. Экстремумы: производная функции равна 0 в двух точках, но только в точке х=-1 производная меняет знак с "-" на "+". Значит х=-1 - точка минимума, f (-1) = - 2/3. 9. При больших по модулю х значения функции непрерывно возрастают.