Четыре числа образуют арифметическую прогрессию. Если к этим числам прибавить соответственно 1,2,11 и 44, то получим четыре числа, образующие геометрическую прогрессию. Найти числа арифметической прогрессии

1. Для четырех членов арифметической прогрессии a (n) имеем:

a1 = a1; a2 = a1 + d; a3 = a1 + 2d; a4 = a1 + 3d,

где d - разность прогрессии.

2. Если прибавим к этим четырем членам заданные числа, то получим геометрическую прогрессию b (n):

b1 = a1 + 1; b2 = a2 + 2 = a1 + d + 2; b3 = a3 + 11 = a1 + 2d + 11; b4 = a4 + 44 = a1 + 3d + 44.

3. Для геометрической прогрессии с знаменателем q имеем:

{b2 = b1q;

{b3 = b2q;

{b4 = b3q;

{a1 + d + 2 = q (a1 + 1);

{a1 + 2d + 11 = q (a1 + d + 2);

{a1 + 3d + 44 = q (a1 + 2d + 11);

{a1 + d + 2 = qa1 + q; (1)

{a1 + 2d + 11 = qa1 + qd + 2q; (2)

{a1 + 3d + 44 = qa1 + 2qd + 11q. (3)

4. Разность уравнений (2) и (1), (3) и (2):

{d + 9 = qd + q; (4)

{d + 33 = qd + 9q. (5)

5. Разность уравнений (5) и (4):

24 = 8q;

q = 3.

6. Из уравнения (4):

d + 9 = 3d + 3;

2d = 6;

d = 3.

7. Из уравнения (1):

a1 + 3 + 2 = 3a1 + 3;

2a1 = 2;

a1 = 1.

8. Члены арифметической прогрессии:

a1 = 1; a2 = 1 + 3 = 4; a3 = 4 + 3 = 7; a4 = 7 + 3 = 10.

9. Проверка:

b1 = 2; b2 = 6 = 3 * 2; b3 = 18 = 3 * 6; b4 = 54 = 3 * 18.

Ответ: 1; 4; 7; 10.