Последовательность строится по следующему закону. На первом месте стоит число 4, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. Какое число стоит на 1000 месте?

Вычислим несколько первых членов данной последовательности и найдем закономерность, по которой эта последовательность строится.

Согласно условию задачи, на первом месте данной последовательности стоит число 4, а далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1.

Находим число, стоящее на 2-м месте;

4² = 16,

1 + 6 + 1 = 8.

Находим число, стоящее на 3-м месте:

8² = 64,

6 + 4 + 1 = 11.

Находим число, стоящее на 4-м месте:

11² = 121,

1 + 2 + 1 + 1 = 5.

Находим число, стоящее на 5-м месте:

5² = 25,

2 + 5 + 1 = 8.

Видим, что начиная со третьей позиции числа в данной последовательности повторяются следующим образом:

если номер позиции делится на 3 дает без остатка, то число, стоящее в последовательности под эти номером равно 11;

если номер позиции при делении на 3 дает в остатке 1, то число, стоящее в последовательности под эти номером равно 5;

если номер позиции при делении на 3 дает в остатке 2, то число, стоящее в последовательности под эти номером равно 8.

Поскольку число 1000 при делении на 3 дает в остатке 1, то на 1000-м месте в данной последовательности стоит число 5.

Ответ: на 1000-м месте стоит число 5.