В арифм. прогрессии a3=16, S7=84. Найдите разность прогрессии

Дано: a_n - арифметическая прогрессия;

a₃ = 16, S₇ = 84;

Найти: d - ?

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d (n - 1), где a₁ - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - количество членов.

Согласно данной формуле представим третий и седьмой члены заданной прогрессии:

a₃ = a₁ + d (3 - 1) = a₁ + 2d, отсюда a₁ = a₃ - 2d = 16 - 2d;

a₇ = a₁ + d (7 - 1) = a₁ + 6d.

Подставим в формулу седьмого члена прогрессии выражение для нахождения a₁:

a₇ = a₁ + 6d = 16 - 2d + 6d = 16 + 4d.

Сумма n членов арифметической прогрессии находится по формуле:

S_n = ((a₁ + a_n) / 2) * n, значит,

S₇ = ((a₁ + a₇) / 2) * 7 = ((16 - 2d + 16 + 4d) / 2) * 7 = ((32 + 2d) / 2) * 7.

Т. к. по условию S₇ = 84, можем составить уравнение:

((32 + 2d) / 2) * 7 = 84;

(32 + 2d) / 2 = 12;

32 + 2d = 24;

2d = - 8;

d = - 4.

Ответ: d = - 4.