Докажите, что для любых чисел m и n верно неравенство 5/4m^2+3mn+2n^2 ≥0

Рассмотрев данное выражение, заметим, что здесь представлены квадраты m и n, и их произведение, поэтому попробует выделить полный квадрат суммы этих чисел.

Потом вычтем выделенные выражения, а оставшиеся тоже можно представить, как квадрат двух чисел. Получим:

5/4 * m^2 + 3 * m * n + 2 * n^2 ≥ 0; m^2 + 2 * m * n + n^2 + (5/4 * m^2 - m^2) + (3 * m * n - 2 * m * n + 2 * n^2 - n^2) = (m^2 + 2 * m * n + n^2) + (1/4 * m^2 + m * n + n^2) = (m + n) ^2 + [ (1/2 * m) ^2 + 2 * (1/2 * m) * n) + n^2] = (m + n) ^2 + (1/2 * m + n) ^2 ≥ 0.

Сумма квадратов больше или равно 0. Доказано.