Доказать неравенство x^2+2xy+3y^2+2x+6y+3> = 0

1. Выделяем квадраты трехчлена и двучлена, обозначив выражение через h (x, y):

h (x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 6y + 3; h (x, y) = (x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y) + (2y^2 + 4y + 2); h (x, y) = (x + y + 1) ^2 + 2 (y^2 + 2y + 1); h (x, y) = (x + y + 1) ^2 + 2 (y + 1) ^2.

2. Составляем неравенства для квадратов:

1) (x + y + 1) ^2 ≥ 0; (1)

2) (y + 1) ^2 ≥ 0.

Умножаем обе части на 2:

2 (y + 1) ^2 ≥ 0. (2)

3. Складываем обе части неравенств (1) и (2):

(x + y + 1) ^2 + 2 (y + 1) ^2 ≥ 0; h (x, y) ≥ 0.

Что и требовалось доказать.