4. Существует ли натуральное n такое что число n2012 - 1 является какой-либо степенью двойки. (2012 - степень)

Решение:

Разложим на множители данное выражение:

n^2012 - 1 = (n^1006 - 1) (n^1006 + 1) =

= (n^503 - 1) (n^503 + 1) (n^1006 + 1)

Предположим, что существует такие n и k, что

(n^503 - 1) (n^503 + 1) (n^1006 + 1) = 2^k

Заметим, что каждый из множителей выражения слева должен быть степенью 2. Также видно, что

(n^503 + 1) - (n^503 - 1) = 2^k1 - 2^k2, где k1, k2 целые числа, такие, что 0<=k1< = k и 0<=k2< = k

2 = 2^k1 - 2^k2

Разница между степенями 2 может равняться 2 только, если

2^k1 = 4 и 2^k1 = 2, а значит:

n^503 + 1 = 4 и n^503 = 3.

но не существует натурального n, удовлетворяющего n^503 = 3

Следовательно, не существует таких n и k, удовлетворяющих условия задачи.

Ответ: не существует.