При каких значениях параметра k прямая у=kх-7 пересекает параболу у=x^2 + 2 х-3 ровно в двух точках

Приравниваем оба уравнения прямой и параболы, чтобы найти координаты точек пересечения, получим:

x² + 2 * x - 3 = k * x + 7,

x² + 2 * x - k * x - 10 = 0,

x² + (2 - k) * x - 10 = 0.

Чтобы заданные графики пересекались в двух точках, необходимо и достаточно, чтобы предыдущее квадратное уравнение имело два вещественных корня, т. е. чтобы его дискриминант был положителен.

Вычислим дискриминант:

D = (2 - k) ² + 40 > 0,

k² - 4 * k + 44 > 0,

k² - 4 * k + 44 = 0,

D = 16 - 4 * 44 график не пересекает ось Ох (a > 0), поэтому k - любое число из R.

Ответ: при любом k из R.