Упростить выражение: (a^2*b) ^-1/3 * (a^-4*b^4) ^-1/4 - в числителе (a^2*b) ^-1/3 * (a^-4*корень из b) ^-2/3 - в знаменателе

Упростим выражение:

[ (a²b) ^-1/3 * (a^-4b⁴) ^-1/4] / [ (a²b) ^-1/3 * (a^-4 √b) ⁻^2/3]

Воспользуемся свойствами степеней:

а^с * b^c = (ab) ^c,

(a^b) ^c = a^bc,

a^b * a^c = a^{b + c}.

Упростим числитель:

(a²b) ^-1/3 * (a^-4b⁴) ^-1/4 = а^-2/3 * b^-1/3 * a¹ * b^-1 = a^-2/3+1 * b^{-1/3 - 1} = a^1/3 * b^-4/3.

Упростим знаменатель:

(a²b) ^-1/3 * (a^-4 √b) ^-2/3 = а^-2/3 * b^-1/3 * a^8/3 * b^{1/2 * (-2/3)} = a^{-2/3 + 8/3} * b^{-1/3 - 1/3} = a² * b^-2/3.

Запишем получившуюся дробь:

[ (a²b) ^-1/3 * (a^-4b⁴) ^-1/4] / [ (a²b) ^-1/3 * (a^-4 √b) ^-2/3] = a^1/3 * b^-4/3 / (a² * b^-2/3) = a^1/3 * b^-4/3 * a^-2 * b^2/3 = a^{1/3 - 2} * b^{-4/3 + 2/3} = a^-5/3 * b^-2/3.

Ответ: a^-5/3 * b^-2/3.