Необходимо решить уравнение √2 cos (2x-п/5) = 11) указать наименьший положительный корень2) найти сумму решений принадлежащих промежутку [п; 2 п]

Рассмотрим тригонометрическое уравнение √ (2) * cos (2 * x - π/5) = 1 и два требования задания, связанные с ним. Требуется найти: во-первых, указать наименьший положительный корень и, во-вторых, найти сумму решений, принадлежащих промежутку [π; 2 * π]. Для того, чтобы выполнить требования задания, сначала решим данное уравнение, которого путём деления обеих частей на √ (2), перепишем в виде: cos (2 * x - π/5) = √ (2) / 2. Для решения полученного уравнения воспользуемся решением одного из простейших тригонометрических уравнений, а именно уравнения cosx = √ (2) / 2. Как известно, это уравнение имеет следующие две серии решений: х₁ = π/4 + 2 * π * n и х₂ = - π/4 + 2 * π * m, где n и m - целые числа. Возвращаясь к уравнению из п. 2, выпишем две серии его решения: 2 * х₁ - π/5 = π/4 + 2 * π * n и 2 * х₂ - π/5 = - π/4 + 2 * π * m, где n и m - целые числа. Вычислим: х₁ = (π/5 + π/4 + 2 * π * n) / 2 = 9 * π/40 + π * n и х₂ = (π/5 - π/4 + 2 * π * m) / 2 = - π/40 + π * m. Для того, чтобы выполнить первое требование задания, сначала решим два неравенства: 9 * π/40 + π * n > 0 относительно n и - π/40 + π * m > 0 относительно m. Получаем следующие решения: n > - 9/40, n ∈ Z, откуда наименьшее n = 0; m > 1/40, откуда наименьшее m = 1, где Z - множество целых чисел. Вычислим: при n = 0, имеем х₁ = 9 * π/40 + π * n = 9 * π/40 + π * 0 = 9 * π/40. Аналогично, при m = 1, имеем х₂ = - π/40 + π * m = - π/40 + π = 39 * π/40. Сравнивая х₁ = 9 * π/40 и х₂ = 39 * π/40, получаем 9 * π/40 < 39 * π/40 и ответ на первое требование задания: наименьший положительный корень данного уравнения равен х = 9 * π/40. Для того, чтобы выполнить второе требование задания решим два двойных неравенства: π ≤ 9 * π/40 + π * n ≤ 2 * π относительно n и π ≤ - π/40 + π * m ≤ 2 * π относительно m. Получаем следующие решения: 31/40 ≤ n ≤ 71/40, n ∈ Z, откуда n = 1; 41/40 ≤ m ≤ 81/40, откуда m = 2. Получаем всего два решения данного уравнения, принадлежащих промежутку [π; 2 * π]. Вычислим: при n = 1, имеем х₁ = 9 * π/40 + π * n = 9 * π/40 + π * 1 = 49 * π/40. Аналогично, при m = 2, получим х₂ = - π/40 + π * m = - π/40 + π * 2 = 79 * π/40. Тогда, их сумма равна 49 * π/40 + 79 * π/40 = (49 + 79) * π/40 = 16 * π/5.

Ответы: 1) наименьший положительный корень х = 9 * π/4; 2) сумма решений, принадлежащих промежутку [π; 2 * π], равна 16 * π/5.