A) 2cosx*cos4x - cosx=0 б) cos^2 (x/2) - cos2x = 1,25 в) 9^ (x-1/2) - 4*3^ (x-1) + 1 = 0 г) log3 (2x-1) - 2log3 (2x+5) = log1/2 (8)

а) Вынесем за скобку cosx:

2cosxcos4x - cosx = 0.

cosx (2cos4x - 1) = 0.

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

cosx = 0; х = П/2 + Пn, n - целое число.

Или 2cos4x - 1 = 0; 2cos4x = 1; cos4x = 1/2; 4 х = ±П/3 + 2 Пn (поделим на 4); х = ±П/12 + П/2 * n, n - целое число.

б) cos² (x/2) - cos2x = 1,25.

Преобразуем уравнение по формулам:

cos2a = 2cos²а - 1 и cos²а = (1 + cos2 а) / 2.

(1 + cosx) / 2 - (2cos²х - 1) - 1,25 = 0.

(1 + cosx) / 2 - 2cos²х - 0,25 = 0.

Умножим уравнение на 2:

1 + cosx - 4cos²х - 0,5 = 0.

-4cos²х + cosx + 0,5 = 0.

Умножим уравнение на (-2):

8cos²х - 2cosx - 1 = 0.

Пусть cosx = а.

8 а² - 2 а - 1 = 0.

D = 4 + 32 = 36 (√D = 6);

а₁ = (2 - 6) / 16 = = 4/16 = - 1/4.

а₂ = (2 + 6) / 16 = 1/2.

Вернемся к замене cosx = а.

а = - 1/4; cosx = - 1/4; х = ±arccos (-1/4) + 2 Пn, n - целое число.

а = 1/2; cosx = 1/2; х = ±П/3 + 2 Пn, n - целое число.

в) Распишем составные степени:

9 ^{(x - 1/2)} - 4 * 3 ^{(x - 1)} + 1 = 0.

9^x * 9 ^(-1/2) - 4 * 3^x * 3 ^(-1) + 1 = 0.

(3²) ^x * 1/√9 - 4 * 3^x * 1/3 + 1 = 0.

1/3 * (3^х) ² - 4/3 * 3^х + 1 = 0.

Пусть 3^х = а.

1/3 а² - 4/3 а + 1 = 0.

Умножим уравнение на 3:

а² - 4 а + 3 = 0.

D = 16 - 12 = 4 (√D = 2);

а₁ = (4 - 2) / 2 = 1.

а₂ = (4 + 2) / 2 = 3.

Вернемся к замене 3^х = а.

а = 1; 3^х = 1; 3^х = 3⁰; х = 0.

а = 3; 3^х = 3; 3^х = 3¹; х = 1.

г) Рассмотрим ОДЗ:

2 х - 1 > 0; 2 х > 1; x > 1/2.

2x + 5 > 0; 2x > - 5; x > - 2,5.

Воспользуемся свойствами логарифмов:

log₃ (2x - 1) - 2log₃ (2x + 5) = log_1/2 (8).

log₃ (2x - 1) - log₃ (2x + 5) ² = - log₂ (8).

Так как log₂ (8) = 3, получается уравнение:

log₃ (2x - 1) - log₃ (2x + 5) ² = - 3.

Представим (-3) как логарифм с основанием 3:

log₃ (2x - 1) - log₃ (2x + 5) ² = log₃ (1/27).

По правилу вычитания логарифмов:

log₃ (2x - 1) / (2x + 5) ² = log₃ (1/27).

Отсюда: (2x - 1) / (2x + 5) ² = 1/27.

По правилу пропорции:

(2x + 5) ² = 27 (2 х - 1).

4 х² + 20 х + 25 = 54 х - 27.

4 х² + 20 х + 25 - 54 х + 27 = 0.

4 х² - 34 х + 52 = 0.

Поделим уравнение на 2:

2 х² - 17 х + 26 = 0.

D = 289 - 208 = 81 (√D = 9);

х₁ = (17 - 9) / 4 = 8/4 = 2.

х₂ = (17 + 9) / 4 = 26/4 = 13/2 = 6,5.

Оба корня подходят по ОДЗ.