Докажите что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 3

Будем действовать так. Возьмем произвольное число и обозначим его через а. Второе число будет а+1. Третье а+2. Теперь требуется найти сумму кубов этих трех чисел. а³ + (а+1) ³ + (а+2) ³. Раскрываем скобки. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведения квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа. Раскрываем и получаем что а³+а³+3 а²*1+3 а*1²+1³+а³+3 а²*2+3 а*2²+2³=а³+а³+3 а²+3 а+1+а³+6 а²+12 а+8=3 а³+9 а²+15 а+9. Можно сократить на 3 и вынести за скобку 3 получаем 3 * (а³+3 а²+5 а+3). Это выражение делится на 3 в любом случае. Что и требовалось доказать.