Найти наибольшее значение произведения двух положительных чисел, если сумма их кубов равна 16.

1. Продифференцируем обе части уравнения:

x^3 + y^3 = 16; (1)

d (x^3 + y^3) = d (16);

d (x^3) + d (y^3) = 0;

3x^2dx + 3y^2dy = 0;

x^2dx + y^2dy = 0;

y^2dy = - x^2dx;

dy = - (x^2/y^2) dx. (2)

2. Обозначим произведение чисел x и y:

z = xy. (3)

Продифференцируем уравнение (3) и подставим значение dy:

dz = d (xy); dz = xdy + ydx; dz = - x (x^2/y^2) dx + ydx; dz = - (x^3/y^2) dx + ydx; dz = (y - x^3/y^2) dx; dz = ((y^3 - x^3) / y^2) dx; dz = ((16 - 2x^3) / y^2) dx; dz/dx = 2 (8 - x^3) / y^2. (4)

3. Из уравнения (4) найдем точки экстремума для произведения чисел:

8 - x^3 = 0;

x^3 = 8; x = 2.

y^3 = 8; y = 2;

Наибольшее значение z:

z = xy = 2^2 = 4.

Ответ: 4.