Петя записал на доске числа 874930 и 915511. Коля задумал трёхзначное число и разделил оба Петиных числа с остатком на задуманное число. В результате деления оказалось, что в обоих случаях в остатке получилось одно и то же двухзначное число. Найдите это двузначное число.

В этой задаче вам необходимо найти число, удовлетворяющее следующим условиям:

данное число двузначное; это число является остатком от деления числа 874930 на задуманное Петей трехзначное число; это число является остатком от деления числа 915511 на задуманное Петей трехзначное число. Представление чисел 874930 и 915511 в виде суммы произведения двух чисел и остатка от деления

Обозначим искомое двузначное число х.

Обозначим задуманное Петей трехзначное число а.

То, что искомое число является остатком от деления числа 915511 на а означает, что существует такое натуральное число в, что:

915511 = а * в + х.

То, что искомое число является остатком от деления числа 874930 на а означает, что существует такое натуральное число с, что:

874930 = а * с + х.

Нахождение остатка от деления

Вычтем из первого равенства второе:

915511 - 874930 = а * в + х - (а * с + х);

40581 = а * в - а * с;

40581 = а * (в - с).

Разложим число 40581 на множители:

40581 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 167.

Так как а трехзначное число, то это либо 167, либо 501, либо 243 (различные комбинации из полученных в разложении множителей).

Теперь разделим поочередно числа 874930 и 915511 на числа 167, 501 и 243 с остатком:

874930 / 167 = 5239 ост (17);

915511 / 167 = 5482 ост (17);

874930 / 501 = 1746 ост (184);

915511 / 501 = 1827 ост (184);

874930 / 243 = 3600 ост (130);

915511 / 243 = 3767 ост (130).

По условиям задачи в остатке от деления должно быть двузначное число. Из трех вариантов подходит только число 17.

Ответ: 17.

Коля задумал число 167.

При делении 874930 на 167 получается 5239 и в остатке 17.

Произведем проверку: 5239 * 167 + 17 = 874913 + 17 = 874930.

При делении 915511 на 167 получается 5482 и в остатке 17.

Произведем проверку: 5482 * 167 + 17 = 915494 + 17 = 915511.

Ответ: Коля задумал число 167, при делении чисел 874930 и 915511 на 167 в остатке будет 17.