1. Показать, что функция F (x) = e^2x+x^3-cos x является первообразной для функции f (x) = 2e^2x+3x^2+sin x на всей числовой прямой. 2. Для функции f (x) = 3x^2+2x-3 найти первообразную, график которой проходит через точку М (1; -2). 3. Найти площадь фигуры ограниченной: 1) параболой y=x^2+x-6 и осью Ох; 2) графиками функций y=x^2+1 и y=10

Если заданная функция F (x) является первообразной для функции f (x), то F' (x) = f (x) на всей числовой оси.

F' (x) = (e^{2 x} + x³ - cos x) ' = (e^{2 x}) ' + (x³) ' - (cos x) ' = 2 e^{2 x} + 3 x² + cos x = f (x).

Следовательно, функция F (x) является первообразной для функции f (x).

F (x) = ∫f (x) dx = ∫ (3 x² + 2 x + 3) dx = ∫3 x² dx + ∫2 x dx + ∫3 dx =

x³ + x² - 3 x + C.

По условию, первообразная проходит через точку М (1; -2):

F (1) = - 2 = 1 + 1 - 3 + C.

С = - 1.

Следовательно,

F (x) = x³ + x² - 3 x - 1.

Найти площадь фигуры:

1) Найдём точки пересечения параболы с осью х:

f (x) = х² + х - 6 = 0;

x = ( - 1 ± √ (1 + 24)) / 2 = ( - 1 ±5) / 2.

x₁ = 2;

x₂ = - 3.

Вторая производная

f '' (x) = (х² + х - 6) '' = (2 х + 1) ' = 2 > 0;

Следовательно, парабола выпуклостью вниз.

Площадь фигуры есть часть параболы ниже оси х:

^-3₂∫ (х² + х - 6) dx = (х³/3 + х²/2 - 6 х + С) |^-3₂ =

( - 9 + 9/2 + 18 + С) - (8/3 + 2 - 12 + С) = 125/6.

3) y = x² + 1 и y = 10.

Найдём точки пересечения параболы с прямой y = 10.

x² + 1 = 10;

x² = 9;

x₁ = 3;

x₂ = - 3.

Искомая площадь равна:

площади прямоугольника S_пр. = (х₁ - х₂) * 10 = 60 минус площади под параболой от х₁ до х₂ и ограниченной с низу осью х.

Площадь под параболой:

S_параб. = ∫ (x² + 1) dx = (x³/3 + x) = (9 + 3) - (-9 - 3) = 24.

Искомая площадь:

S_пр. - S_параб. = 60 - 24 = 36.