Вычислить двойной интеграл (3*x-4*y^2+5) dx*dy по области D ограниченной линиями y=2x и y=x^3

Вычислим двойной интеграл (3*x-4*y^2+5) dx*dy по области D ограниченной линиями y=2x и y=x^3.

Сначала найдем абсциссы точек пересечения функции y = 2 * x и y = x ^ 3. То есть получаем:

2 * x = x ^ 3;

2 * x - x ^ 3 = 0;

x * (2 - x ^ 2) = 0;

x = 0; x = √ 2; x = - √ 2;

∫ (от - √ 2 до 0) ∫ (от 0 до √ 2) (3 * x - 4 * y ^ 2 + 5) dx * dy;

Найдем внутренний интеграл : ∫ (3 * x - 4 * y ^ 2 + 5) dy = 3 * x * y - 4 * y ^ 3 / 3 + 5 * y = - 4 * y ^ 3 / 3 + y * (3 * x + 5);

Подставим пределы от 0 до √ 2 и получим: ∫ (3 * x - 4 * y ^ 2 + 5) = √ 2 * (3 * х + 5) - 8 * √ 2 / 3;

Найдем внешний интеграл: ∫ (√ 2 * (3 * х + 5) - 8 * √ 2 / 3) dx = 3 * √ 2 / 2 * x ^ 2 + 7 * x / 3 * √ 2;

Подставим пределы от - √ 2 до 0 и получим: ∫ (√ 2 * (3 * х + 5) - 8 * √ 2 / 3) dx = - 3 * √ 2 + 14 / 3;

Ответ: - 3 * √ 2 + 14 / 3.