Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = x^4-2x^2 на отрезке (-2; 1)

Найдем точки экстремума данной функции и узнаем значения этой функции в точках экстремума, в случае, если они принадлежат отрезку [-2; 1], а также на границах этого отрезка.

Для того, чтобы найти точки экстремума данной функции, найдем производную этой функции, а затем найдем те значения х, при которых производная обращается в 0. Это и будут возможные точки экстремума.

Находим производную функции f (x) = x^4 - 2x^2.

f' (x) = 4x^3 - 2*2*x = 4x^3 - 4x.

Найдем значения х, при которых производная равна 0:

4x^3 - 4x = 0;

x^3 - x = 0;

x * (x^2 - 1) = 0;

x * (x - 1) (x + 1) = 0;

Производная обращается в ноль в точках х = - 1, х = 0 и х = 1.

Точки х = - 1 и х = 0 лежат внутри отрезка [-2; 1], а точка х = 1 является правой границей данного отрезка. Вычислим значения функции в точках х = - 2, х = - 1, х = 0 и х = 1.

f (-2) = (-2) ^4 - 2 * (-2) ^2 = 16 - 8 = 8;

f (-1) = (-1) ^4 - 2 * (-1) ^2 = 1 - 2 = - 1;

f (0) = 0^4 - 2*0^2 = 0;

f (1) = 1^4 - 2*1^2 = 1 - 2 = - 1.

Таким образом, f (x) = x^4 - 2x^2 на отрезке [-2; 1] наименьшее значение принимает в точках х = - 1 и х = 1 и это наименьшее значение равно - 1, а наибольшее значение данная функция принимает в точке х = - 2 и это наибольшее значение равно 8.