Доказать, что при любых натуральных m и n число (3m+5n+7) ^3 (7m+n+2) ^4 делится на 8.

1. Пусть:

u = 3m + 5n + 7; v = 7m + n + 2; m + n = k.

2. Составим сравнения по модулю 2:

1) u = 3m + 5n + 7;

u ≡ 3m + 5n + 7 (mod 2); u ≡ 2m + m + 4n + n + 6 + 1 (mod 2); u ≡ m + n + 1 (mod 2); u ≡ k + 1 (mod 2). (1)

2) v = 7m + n + 2;

v ≡ 7m + n + 2 (mod 2); v ≡ 6m + m + n + 2 (mod 2); v ≡ m + n (mod 2); v ≡ k (mod 2). (2)

3. Из сравнений (1) и (2) следует, что одно из чисел u и v - четное, а другое - нечетное. Следовательно, произведение степеней:

w = u^3 * v^4,

кратно 8, что и требовалось доказать.