решите уравнение tg x + ctg x=8sin2x

Прежде всего, предположим, что рассматриваются такие значения угла х, для которых данное уравнение tgx + ctgx = 8 * sin (2 * x) имеет смысл, то есть, х ≠ π/2 + π * k, k ∈ Z и х ≠ π * k, k ∈ Z, где Z - множество целых чисел. Эти неравенство оформим в виде следующего множества М = {x ∈ R: π * (n + ½) < x < π * (n + 1), n ∈ Z}, где R - множество действительных чисел. Воспользуемся формулами tgα = sinα / cosα и ctgα = cosα / sinα. Имеем: sinх / cosх + cosх / sinх = 8 * sin (2 * x) или (sinх * sinх + cosх * cosх) / (sinх * cosх) = 8 * sin (2 * x), откуда, умножая обе части полученного уравнения на знаменатель левой части (который, согласно предположения, отличен от нуля), sin²х + cos²х = 8 * sin (2 * x) * sinх * cosх. Используя формулы sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество) и sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла), получим: 4 * sin² (2 * x) = 1. Поделим обе части этого уравнения на 4. Тогда, имеем: sin² (2 * x) = ¼. Последнее уравнение распадается на два уравнения sin (2 * x) = - ½ и sin (2 * x) = ½. Эти уравнения являются простейшими тригонометрическими уравнениями. Выпишем их решения. А) Уравнение sin (2 * x) = - ½ имеет решения: 2 * х = - π/6 + 2 * π * m и 2 * х = 7 * π/6 + 2 * π * n, откуда х = - π/12 + π * m и х = 7 * π/12 + π * n, где m, n ∈ Z. Б) Уравнение sin (2 * x) = ½ имеет решения: 2 * х = π/6 + 2 * π * p и 2 * х = 5 * π/6 + 2 * π * q, откуда х = π/12 + π * p и х = 5 * π/12 + π * q, где p, q ∈ Z. Нетрудно убедиться, что найденные все 4 серии решений принадлежат множеству М, поэтому, являются решениями данного уравнения.

Ответ: х = - π/12 + π * m, х = 7 * π/12 + π * n, х = π/12 + π * p и х = 5 * π/12 + π * q, где m, n, p, q ∈ Z.