Из натуральных чисел от 1 до 16 выбрали 8 чисел таких, что никакие два выбранных числа не дают в сумме 17. Сумма выбранных чисел равна 68. Какое наименьшее значение может быть у суммы квадратов этих чисел?

1. Числа от 1 до 16 представим в виде:

x[n] = 8,5 + k (n) / 2, где k[n] = ± (1 + 2n), n = 0, 1, ..., 6, 7; k[n] = ±1, ±3, ±5, ±7, ±9, ±11, ±13, 15.

2. Среди восьми выбранных чисел не должны быть числа с равными абсолютными значениями для k[n]:

|ki| ≠ |kj|, если i ≠ j.

Следовательно, среди них все значения n от 0 до 7 присутствуют.

3. Для суммы квадратов восьми чисел xi получим:

S = (8,5 + k0/2) ^2 + (8,5 + k1/2) ^2 + ... + (8,5 + k7/2) ^2; S = 8 * 8,5^2 + 2 * 8,5 * 1/2 * (k0 + k1 + ... + k7) + 1/4 * (k0^2 + k1^2 + ... + k7^2); S = 2 * 17^2 + 8,5 * S1 + 1/4 * S2. S = 578 + 8,5 * S1 + 1/4 * S2, (1) где S1 = k0 + k1 + ... + k7; S2 = k0^2 + k1^2 + ... + k7^2.

4. Поскольку сумма выбранных чисел равна 68, то для S1 получим:

x0 + x1 + ... + x7 = 68; (8,5 + k0/2) + (8,5 + k1/2) + ... + (8,5 + k7/2) = 68; 8 * 8,5 + 1/2 (k0 + k1 + ... + k7) = 68; 68 + 1/2 * S1 = 68; S1 = 0.

5. Вычислим также значение S2:

S2 = k0^2 + k1^2 + ... + k7^2; S2 = 1^2 + 3^2 + ... 13^2 + 15^2 = 680.

6. Подставив значения S1 и S2 в уравнение (1), найдем значение для S:

S = 578 + 8,5 * S1 + 1/4 * S2; S = 578 + 8,5 * 0 + 1/4 * 680 = 578 + 170 = 748.

Как видим, искомая сумма не зависит от выбора восьми чисел и имеет постоянное значение: 748.

Ответ: 748.