Арифметическая прогрессия. Первые два члена в сумме дают 40, второй и третий дают 120. Найдите первые три члена.

Запишем условие задачи, первые два члена арифметической прогрессии дают в сумме 40, значит: а₁ + а₂ = 40.

Выразим а₂ через а₁ (используем определение арифметической прогрессии - а_n+1 = а_n + d), получим: а₂ = а₁ + d.

Поэтому: а₁ + а₂ = 40; а₁ + а₁ + d = 40; 2 * а₁ + d = 40.

Запишем второе условие, второй и третий члены дают 120, то есть: а₂ + а₃ = 120 или а₃ = а₂ + d.

Значит: а₂ + а₃ = 120, а₁ + d + а₂ + d = 120; а₁ + d + а₁ + d + d = 120; 2 * а₁ + 3 * d = 120.

Получили систему уравнений:

2 * а₁ + d = 40;

2 * а₁ + 3 * d = 120.

Отсюда: 2 * а₁ - 2 * а₁ + 3 * d - d = 120 - 40.

2 * d = 80.

d = 80 / 2 = 40.

По условию задачи S₂ = 40, при этом S_n = ((2 * a₁ + d * (n - 1)) / 2) * n, значит:

(2 * a₁ + d * (n - 1)) / 2) * n = S_n;

(2 * a₁ + d * (n - 1)) / 2 = S_n / n;

2 * a₁ + d * (n - 1) = S_n * 2 / n;

2 * a₁ = S_n * 2 / n - d * (n - 1);

a₁ = (S_n * 2 / n - d * (n - 1)) / 2.

a₁ = (S₂ * 2 / 2 - 40 * (2 - 1)) / 2 = (40 * 2 / 2 - 40 * (2 - 1)) / 2 = (40 - 40) / 2 = 0 / 2 = 0.

a₂ = a₁ + d = 0 + 40 = 40.

a₃ = a₂ + d = 40 + 40 = 80.

Выполним проверку.

a₁ + a₂ = 40, 0 + 40 = 40, 40 = 40.

a₂ + a₃ = 120, 40 + 80 = 120, 120 = 120.

Условия выполняются.

Ответ: a₁ = 0; a₂ = 40; a₃ = 80.