В кругу стоят 20 корзин. можно ли разложить в них 99 арбузов, чтобы количество арбузов и любых двух соседних корзинах отличалось бы ровно на еденицу

Нельзя. Пусть в первой корзине будет х арбузов, тогда во второй - x + 1, в третей - снова х и тд., то есть будет чередоваться чётное и нечётное количество арбузов, поскольку число корзин чётное, то и число арбузов будет четным! Поскольку 99 - нечетное число, то его таким способом нельзя разместить в 20 корзин.