Найдите все корни уравнения (x^2-3x-6) / (x) - (8x) / (x^2-3x-6) = -2

ОДЗ: х ≠ 0.

Упростим наше уравнение введением новой переменной. Пусть (x² - 3x - 6) / x = y, тогда x / (x² - 3x - 6) = 1/y и наше выражение примет вид:

y - 8/y = - 2.

y ≠ 0, значит чтобы избавиться от дроби умножим наше уравнение на y.

y² - 8 = - 2y.

y² + 2y - 8 = 0.

Имеем квадратное уравнение, решим его по теореме Виета.

y1 + y2 = - 2. y1 * y2 = - 8.

Методом подстановки определим, что y1 = 2, y2 = - 4.

Подставим наши значения в исходное уравнение по очереди и найдем значения x.

1) (x² - 3x - 6) / x = 2.

По правилам пропорции:

x² - 3x - 6 = 2x.

x² - 3x - 6 - 2x = 0.

x² - x (3 + 2) - 6 = 0.

x² - 5x - 6 = 0.

Имеем квадратное уравнение, которое решим по теореме Виета.

x1 + x2 = 5, x1 * x2 = - 6.

Методом подстановки определим, что x1 = - 1, x2 = 6.

2) (x² - 3x - 6) / x = - 4.

По правилам пропорции:

x² - 3x - 6 = - 4x.

x² - 3x - 6 + 4x = 0.

x² + x (4 - 3) - 6 = 0.

x² + x - 6 = 0.

Имеем квадратное уравнение, решим его по теореме Виета:

x1 + x2 = - 1, x1 * x2 = - 6.

Методом подстановки x1 = 2, x2 = - 3.

Ответ: х = 2, х = - 3, х = - 1, х = 6.