У Наташи было 112 лент: коротких, средних и длинных. Она разрезала их на маленькие ленточки для своих кукол, которых у неё очень много. Из короткой ленты она получала 8 ленточек, из средней - 15 и из длинной - 22 ленточки. Могла ли она получить 2015 ленточек, разрезав все ленты?

Обозначим число коротких лент а, число средних лент в, число длинных лент с. По условию задачи:

а + в + с = 112.

Если бы можно было получить 2015 ленточек, то было бы верно равенство:

8 а + 15 в + 22 с = 2015.

Умножим первое уравнение на (-8) и прибавим левую и правую часть ко второму уравнению:

8 а + 15 в + 22 с - 8 (а + в + с) = 2015 - 8 * 112;

7 в + 14 с = 1119.

Каждое из слагаемых в левой части уравнения делится на 7, следовательно, и правая часть уравнения должна делиться на 7.

Однако:

1119 / 7 = 159 + 6/7.

Таким образом, не существует натуральных чисел в и с таких, что обращают второе уравнение в верное равенство.

Наташа не могла получить 2015 ленточек в процессе разрезания.