Найти дифференциал функции:y=sqrt (1+x^2) arctg x

Рассмотрим функцию y = √ (1 + x²) * arctgx. По требованию задания, найдём дифференциал данной функции. Как известно, если дана дифференцируемая функция у = f (x), то её дифференциал dy определяется по формуле dy = f Ꞌ (x) dx. Вычислим производную уꞋ = (√ (1 + x²) * arctgx) Ꞌ. Воспользуемся формулой (u * v) ꞌ = uꞌ * v + u * vꞌ. Тогда, получим: уꞋ = (√ (1 + x²)) Ꞌ * arctgx + √ (1 + x²) * (arctgx) Ꞌ = ((1 + x²) ^½) Ꞌ * arctgx + √ (1 + x²) * (arctgx) Ꞌ. Используем соответствующие свойства дифференцирования и следующие формулы (uⁿ) ꞌ = n * uⁿ ^{- 1} * uꞌ, где n - постоянная и (arctgx) Ꞌ = 1 / (1 + х²). Имеем: уꞋ = ½ * (1 + x²) ^{½ - 1} * (1 + x²) Ꞌ * arctgx + √ (1 + x²) * (1 / (1 + х²)) = х * arctgx / √ (1 + x²) + 1 / √ (1 + x²) = (х * arctgx + 1) / √ (1 + x²). Следовательно, dy = ((х * arctgx + 1) / √ (1 + x²)) dx

Ответ: dy = ((х * arctgx + 1) / √ (1 + x²)) dx.