Помогите доказать тождество (1+ctg2a) / (1-ctg2a) = sin (2a+п/4) / sin (2a-п/4)

(1+ctg2α) / (1-ctg2α) = sin (2α+π/4) / sin (2α-π/4);

Воспользуемся формулами сtg α=cos⁡ α/sin⁡ α для левой части тождества и формулами сложения и вычитания для правой части:

sin⁡ (α+β) = sin⁡ α cos β+cos α sin β;

sin⁡ (α-β) = sin α cos β-cos α sin β;

Тогда:

(1+cos⁡ 2α/sin⁡ 2α) / (1-cos⁡2α/sin⁡2α) = (sin 2α cos π/4+cos 2α sin π/4) / (sin 2α cos π/4-cos 2α sin π/4);

sin⁡ π/4=cos⁡ π/4=√2/2;

Тогда:

(sin 2α+cos 2α) / sin 2α / (sin 2α-cos⁡ 2α) / sin 2α = (√2/2 sin ⁡2α+√2/2 cos 2α) / (√2/2 sin ⁡2α-√2/2 cos 2α);

(sin 2α+cos 2α) / sin 2α * sin⁡2α / (sin 2α-cos 2α) = √2/2 * (sin⁡2α+cos 2α) / √2/2 (sin⁡2α-cos 2α);

Дробь в левой части тождества сокращается на sin ⁡2α и дробь в правой части - на √2/2;

Тогда:

(sin 2α+cos⁡ 2α) / (sin 2α-cos 2α) = (sin 2α+cos⁡ 2α) / (sin 2α-cos 2α);

Получаем, что правая часть тождества равна левой. Тождество доказано.