Корень из x^2+x-2 <2

Подкоренное выражение должно быть больше либо равно нулю.

√ (x² + x - 2) < 2; x² + x - 2 ≥ 0.

Возведем обе части неравенства в квадрат.

x² + x - 2 < 4.

Получается система неравенств: x² + x - 2 ≥ 0 (а); x² + x - 2 < 4 (б).

Решаем сначала каждое неравенство отдельно:

а) x² + x - 2 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = x² + x - 2, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x² + x - 2 = 0.

D = 1 + 8 = 9 (√D = 3);

х₁ = (-1 - 3) / 2 = - 2.

х₂ = (-1 + 3) / 2 = 1.

Отмечаем на числовой прямой точки - 2 и 1, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≥ 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; - 2] и [1; + ∞).

б) x² + x - 2 < 4.

x² + x - 2 - 4 < 0.

x² + x - 6 < 0.

у = x² + x - 6 (квадр. парабола, ветви вверх).

x² + x - 6 = 0.

D = 1 + 24 = 25 (√D = 5);

х₁ = (-1 - 5) / 2 = - 3.

х₂ = (-1 + 5) / 2 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки - 3 и 2, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-3; 2).

Объединяем решения обоих неравенств на одной числовой прямой.

Ответ: х принадлежит промежуткам (-3; - 2] U [1; 2).