Решите уравнение (5/sin^2x) - (9/cos (7 П/2+x)) + 4=0

Воспользуемся формулами приведения:

5/sin² x - 9 cos (7π/2 + x) + 4 = 0;

а) cos (7π/2 + x);

- функция меняется на противоположную;

- угол (7π/2 + x) находится в четвертой четверти, косинус положительный;

cos (7π/2 + x) = sin х;

Подставим полученные значения и приведем к общему знаменателю:

5/sin² x - 9/sin х + 4 = 0;

(5 - 9sin х + 4sin² x) / sin² x = 0;

(4sin² x - 9sin х + 5) / sin² x = 0;

sin² x = / = 0;

sin x = / = 0;

4sin² x - 9sin х + 5 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Выполним замену sin x = n, |n| ≤ 1:

4n² - 9n + 5 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 9) ² - 4 * 4 * 5 = 81 - 80 = 1;

D › 0, значит:

n1 = ( - b - √D) / 2a = (9 + √1) / 2 * 4 = (9 + 1) / 8 = 10 / 8 = 1 1/4, не подходит по условию замены;

n2 = ( - b + √D) / 2a = (9 - √1) / 2 * 4 = (9 - 1) / 8 = 8 / 8 = 1;

Тогда:

если n = 1, то:

sinx = 1;

х1 = π/2 + 2πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = π/2 + 2πn, n ∈ Z.