Найти производную функции y = 3^cosx-x*sin2x

Найдём производную данной функции: y = 3^cos x - x * sin 2x.

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(sin x) ' = cos x (производная основной элементарной функции).

(cos x) ' = - sin x (производная основной элементарной функции).

(a^x) ' = a^x * ln a (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

(uv) ' = u'v + uv' (основное правило дифференцирования).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (3^cos x) ' = (cos x) ' * (3^cos x) ' = (-sin x) * (3^cos x) * ln 3;

2) (x) ' = 1 * x^ (1 - 1) = 1 * x^0 = 1 * 1 = 1;

3) (sin 2x) ' = (2x) ' * (sin 2x) ' = 2 * cos 2x = 2cos 2x.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (3^cos x - x * sin 2x) ' = (3^cos x) ' - (x * sin 2x) ' = (3^cos x) ' - ((x) ' * (sin 2x) + x * (sin 2x) ') = ((-sin x) * (3^cos x) * ln 3) - (1 * (sin 2x) + x * 2cos 2x) = (-sin x) (3^cos x) (ln 3) - (sin 2x) - 2xcos 2x.

Ответ: y' = (-sin x) (3^cos x) (ln 3) - (sin 2x) - 2xcos 2x.