Tg (a) + ctg (a) = 2/sin (2a) (доказать тождество)

1) Рассмотрим левую часть уравнения tg (a) + ctg (a).

Так как tg (x) = sin (x) / cos (x), ctg (x) = cos (x) / sin (x), то:

tg (a) + ctg (a) = sin (a) / cos (a) + cos (a) / sin (a) = (sin (a) * sin (a)) / (cos (a) * sin (a)) + (cos (a) * cos (a)) / (sin (a) * cos (a)) = ((sin (a)) ^2 + (cos (a)) ^2) / (sin (a) * cos (a)).

Так как по основному тригонометрическому тождеству (sin (x)) ^2 + (cos (x)) ^2 = 1, а по формуле синуса двойного угла sin (2 * x) = 2 * sin (x) * cos (x), то:

((sin (a)) ^2 + (cos (a)) ^2) / (sin (a) * cos (a)) = 1 / (1/2 * sin (2 * a)) = 1 / (sin (2 * a) / 2) = 1 * 2/sin (2 * a) = 2/sin (2 * a).

2) В результате преобразований левая часть стала равна правой части уравнения.

Следовательно, тождество доказано.