1. найдите промежутки монотонности функции а) f (x) = (x-2) ^2/x+1 б) f (x) = √x-x

а) Найдем производную функции:

f (x) = (x - 2) ² / (x + 1).

f' (x) = (((x - 2) ²) ' (x + 1) - (x - 2) ² (x + 1) ') / (x + 1) ² = (2 (х - 2) (х + 1) - (х² - 4x + 4)) / (x + 1) ² = ((2 х - 4) (х + 1) - х² + 4x - 4) / (x + 1) ² = (2 х² - 4 х + 2 х - 4 - х² + 4x - 4) / (x + 1) ² = (х² + 2 х - 8) / (x + 1) ².

Приравниваем производную к нулю:

f' (x) = 0; (х² + 2 х - 8) / (x + 1) ² = 0.

х² + 2 х - 8 = 0; ОДЗ: x + 1 не равно 0, х не равен (-1).

D = 4 + 32 = 36 (√D = 6);

х₁ = (-2 - 6) / 2 = - 5.

х₂ = (-2 + 6) / 2 = 2.

Получилось три промежутка: (-∞; - 5), (-5; 2) и (2; + ∞). Так как это парабола (ветви вверх), то знаки каждого промежутка будут:

(-∞; - 5) : плюс, функция возрастает.

(-5; 2) : минус, функция убывает.

(2; + ∞) : плюс, функция возрастает.

Добавляем ОДЗ (х не равен - 1).

Ответ: f (x) возрастает на (-∞; - 5) и (2; + ∞); f (x) убывает на (-5; - 1) и (-1; 2).

б) Выполняем задание аналогично.

f (x) = √x - x.

f' (x) = 1 / (2√х) - 1.

f' (x) = 0; 1 / (2√х) - 1 = 0; ОДЗ: х > 0.

1 / (2√х) = 1;

2√х = 1;

√х = 1/2;

х = 1/4.

Получается два промежутка (учитываем ОДЗ, х > 0):

(0; 1/4) плюс,

(1/4; + ∞) минус.

Ответ: f (x) возрастает на (0; 1/4), f (x) убывает на (1/4; + ∞).