1) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, его периметр равен 40 см. Найдите катеты. 2) Две трубы работая совместно наполняют бассейн за 4 часа. Первая может наполнить его на 6 часов быстрее чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн первая труба?

1, Пусть x - один катет, у - второй. Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон. Исходя из этого, сумма двух катетов x + y = 40 - 17 = 23 и, тогда, y = 23 - x.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

17² = x² + (23 - x) ².

Преобразуем выражение и получим квадратное уравнение:

x² + 529 - 46x + x² = 289 = > 2x² - 46 x + 240 = 0 = > x² - 23x + 120 = 0, где a = 1, b = 23, c = 120.

Решим уравнение:

а) вычисляем дискриминант D = b² - 4ac = 529 - 4 * 1 * 120 = 529 - 480 = 49 > 0, значит уравнение имеет два корня;

б) находим корни уравнения:

x₁ = ( - b + √D) / 2a = (23 + 7) / 2 = 15, x₂ = ( - b - √D) / 2a = (23 - 7) / 2 = 8. Это длина одного катета.

Тогда длина второго y = 23 - 15 = 8 или 23 - 8 = 15.

Ответ: Длина катетов 15 см и 8 см.

2. Обозначим через x время, за которое первая труба заполнит бассейн, тогда вторая затратит на это (x + 6) часов.

Примем работу по заполнению бассейна за 1. Исходя из этого, производительность первой трубы в час 1/x, второй - 1 / (x + 6), а общая производительность - 1/4.

Составим уравнение 1/x + 1 / (x + 6) = 1/4, преобразуем его, приведя к общему знаменателю:

(4 (x + 6) + 4x - x (x + 6)) / 4x (x + 6) = 0 = > (4x + 24 + 4x - x² - 6x) / 4x (x + 6) = 0 = >

(x² - 2x - 24) / 4x (x + 6) = 0.

Получили квадратное уравнение x² - 2x - 24 = 0, где a = 1, b = - 2, c = - 24, решим его:

а) вычислим дискриминант D = b² - 4ac = 4 + 4 * 1 * 24 = 100 > 0, уравнение имеет два корня.

б) найдем корни уравнения:

x₁ = ( - b + √D) / 2a = (2 + 10) / 2 = 6 и x₂ = ( - b - √D) / 2a = (2 - 10) / 2 = - 4. отрицательный корень не подходит по условию задачи.

Значит, первая труба может наполнить бассейн за 6 часов.