Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Каким должны быть его стороны чтобы площадь треугольника была наибольшей?

1. Обозначим:

2a - основание равнобедренного треугольника; b - боковая сторона; h - высота, проведенная к основанию.

2. Составим уравнение для периметра треугольника:

2a + 2b = 18; a + b = 9; b = 9 - a.

3. Найдем высоту треугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора:

a^2 + h^2 = b^2; h^2 = b^2 - a^2 = (9 - a) ^2 - a^2 = 81 - 18a + a^2 - a^2 = 81 - 18a = 9 (9 - 2a); h = √9 (9 - 2a) = 3√ (9 - 2a).

4. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты:

S = 1/2 * 2a * h = ah = 3a√ (9 - 2a).

5. Найдем максимум функции f (a) = S^2:

f (a) = 9a^2 (9 - 2a) = 9 (9a^2 - 2a^3); f' (a) = 9 (18a - 6a^2) = 54a (3 - a) = 0.

a = 3 (см) - точка максимума, в которой f (a), а значит и S, принимает наибольшее значение.

b = 9 - a = 9 - 3 = 6 (см).

6. Стороны треугольника:

2a = 6 см; b = 6 см.

Ответ. Треугольник должен быть равносторонним.