Лист бумаги разорвали на 4 части, какие-то из этих частей снова разорвали на 4 части и т. д. При подсчёте выяснилось, что всего получилось 2016 частей. Докажите, что при подсчёте ошиблись.

Для решения данной задачи используемся инвариантом.

Инвариант - некоторая величина, которое не меняется при применении каких-то разрешенных действий.

Рассмотрим самое начало: у нас имеется один кусок.

Каждым ходом мы рвем какой-то лист на 4 части, а значит общее количество частей увеличивается на 3.

Значит, инвариантом может служить остаток при делимости количества кусков на 3 - он всегда равен единице.

Но число 2016 делится на 3, а значит при подсчёте действительно была допущена ошибка.