Докажите что сумма трех последовательных натуральных степеней числа 4 кратна84

Нам требуется доказать, что при любом натуральном n > = 1 выражение

S (n) = 4^n + 4^ (n + 1) + 4^ (n + 2) делится на 84.

Способ 1.

Проведем доказательство по индукции:

S (1) = 4 + 16 + 64 = 84 делится на 84.

Пусть утверждение верно при n. Тогда S (n) можно записать:

S (n) = 84 * k, где k - натуральное число.

Докажем, что оно верно и при n + 1.

S (n + 1) = 4^ (n + 1) + 4^ (n + 2) + 4^ (n + 3) = 4 * (4^n + 4^ (n + 1) + 4^ (n + 2)) =

= 4 * S (n) = 84 * 4 * k. Следовательно, S (n + 1) делится на 84.

Способ 2.

S (n) = 4^n + 4^ (n + 1) + 4^ (n + 2) = 4^n * (1 + 4 + 16) = 4^n * 21 = 4^ (n - 1) * 4 * 21=

= 84 * 4^ (n - 1). Так как n > = 1, то S (n) делится на 84.