Докажите, что при любом n принадлежит N число 7^2n+1 + 2^4n+2 делится на 11

Обозначим данное выражение:

А (n) = 7^ (2 * n + 1) + 2^ (4 * n + 2).

При n = 1 имеем:

A (1) = 7^3 + 2^6 = 343 + 64 = 407 = 11 * 37.

Следовательно, А (1) делится на 11.

Доказательство проведем по индукции.

Предположим, что утверждение верно при любом n < = k.

Рассмотрим A (k + 1):

A (k + 1) = 7^ (2 * (k + 1) + 1) + 2^ (4 * (k + 1) + 2) =

= 7^2 * 7^ (2 * k + 1) + 2^4 * 2^ (4 * k + 2) =

= 49 * 7^ (2 * k + 1) + 16 * 2^ (4 * k + 2) =

= (33 + 16) * 7^ (2 * k + 1) + 16 * 2^ (4 * k + 2) =

= 33 * 7^ (2 * k + 1) + 16 * (7^ (2 * k + 1) + 2^ (4 * k + 2)) =

= 11 * 3 * 7^ (2 * k + 1) + 16 * A (k).

Так как A (k) делится на 11, то оба слагаемых выражения делятся на 11, а значит,

и A (k + 1) делится на 11, что и требовалось доказать.