Найдите множество значений функции у = (sinx+cosx) ^2

1. Возведем в квадрат сумму тригонометрических функций и воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

sin2α = 2sinα * cosα; у = (sinx + cosx) ^2; у = sin^2x + 2sinx * cosx + cos^2x; у = 1 + sin2x.

2. Если нет ограничений на аргумент функции, то синус принимает значения в диапазоне от - 1 до 1:

sin2x ∈ [-1; 1], или в виде двойного неравенства: - 1 ≤ sin2x ≤ 1. (1)

3. Прибавив единицу ко всем частям неравенства (1), найдем область значений исходной функции:

1 - 1 ≤ 1 + sin2x ≤ 1 + 1; 0 ≤ y ≤ 2; y ∈ [0; 2].

Ответ: [0; 2].