Решите тригонометрическое уровtgx+6*ctgx-5=0

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, умножив равенство на tgx ≠ 0:

tgx + 6 * ctgx - 5 = 0;

сtgx = 1/tgx;

tgx + 6/tgx - 5 = 0;

tg²x - 5ctgx + 6 = 0;

Выполним замену tgx = у:

у² - 5 у + 6 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 5) ² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (5 - √1) / 2 * 1 = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (5 + √1) / 2 * 1 = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3;

Тогда, если у1 = 2, то:

tgx = 2;

х1 = arctg (2) + πn, n ∈ Z;

если у2 = 3, то:

х2 = arctg (3) + πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = arctg (2) + πn, n ∈ Z, х2 = arctg (3) + πn, n ∈ Z.