Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой её член на 12 больше второго, найдите разность и первый член данной прогрессии

Дано: (a_n) - арифметическая прогрессия;

a₃ + a₅ = 16, a₆ - a₂ = 12;

Найти: d, a₁ - ?

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d (n - 1), где a₁ - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - количество её членов.

С помощью этой формулы представим второй, третий, пятый и шестой члены заданной прогрессии:

a₂ = a₁ + d (2 - 1) = a₁ + d;

a₃ = a₁ + d (3 - 1) = a₁ + 2d;

a₅ = a₁ + d (5 - 1) = a₁ + 4d;

a₆ = a₁ + d (6 - 1) = a₁ + 5d.

Т. о. имеем: (a₁ + d) + (a₁ + 4d) = 16 [1] и (a₁ + 5d) - (a₁ + 2d) = 12 [2].

Преобразуем сначала [2] уравнение:

(a₁ + 5d) - (a₁ + 2d) = 12;

a₁ + 5d - a₁ - 2d = 12;

3d = 12;

d = 4.

Преобразуем [1] уравнение и подставим в него полученное значение разности d:

(a₁ + d) + (a₁ + 4d) = 16;

2a₁ + 5d = 16;

2a₁ + 5 * 4 = 16;

2a₁ = 16 - 20;

2a₁ = - 4;

a₁ = - 2.

Ответ: a₁ = - 2; d = 4.