Открытый бак цилиндрической формы должен вмещать 10 л. При какой Высоте и радиусе основание бака на его изготовление уйдет наименьшее количество материалов.

Объём цилиндра:

V = pi * R² * H = 10 л = 10 дм.

Площадь его поверхности:

S = pi * R² + 2 * pi * R * H.

Т. к. H = 10 / (pi * R²), то:

S (R) = pi * R² + 20 / R. (1)

Требуется провести минимизацию функции (1), для чего обычно находят её производную и ищут критические точки:

S' (R) = 2 * pi * R - 20 / R².

S' (R) = 0, R ≠ 0

R = ³√ (10 / pi),

H = R = ³√ (10 / pi).

Точка R = 0 - точка перегиба функции, а точка R = ³√ (10 / pi) - искомая точка минимума функции S (R), которая минимизирует количество требуемого материала на бак.

При R = H = ³√ (10 / pi) ед. на изготовление бака уйдёт:

S = 3 * ³√ (100 * pi) ед² материала.