Решите уравнение: 4/х-2+1/х+4=3/х-4

Решение уравнений с дробями выполняем по следующему алгоритму:

Нужно перенести все дроби в одну часть уравнения и привести их к общему знаменателю; Выяснить ОДЗ (область допустимых значений) - знаменатель не может равняться нулю, делить на ноль нельзя; Приравнять к нулю только числитель и находим корни уравнения. Перенесем все дроби в левую часть

4 / (х - 2) + 1 / (х + 4) = 3 / (х - 4)

4 / (х - 2) + 1 / (х + 4) - 3 / (х - 4) = 0

Приведем все дроби к общему знаменателю (х - 2) (х + 4) (х - 4).

(4 (х + 4) (х - 4) + (х - 2) (х - 4) - 3 (х - 2) (х + 4)) / (х - 2) (х + 4) (х - 4) = 0

Выясним ОДЗ

(х - 2) (х + 4) (х - 4) не равен нулю.

х не равно 2,

х не равно - 4,

х не равно 4.

Приравниваем к нулю только числитель

4 (х + 4) (х - 4) + (х - 2) (х - 4) - 3 (х - 2) (х + 4) = 0

Раскрываем скобки.

4 (х² - 16) + (х² - 2 х - 4 х + 8) - 3 (х² - 2 х + 4 х - 8) = 0

4 (х² - 16) + (х² - 6 х + 8) - 3 (х² + 2 х - 8) = 0

4 х² - 64 + х² - 6 х + 8 - 3 х² - 6 х + 24 = 0

Подводим подобные члены.

2 х² - 12 х - 32 = 0

Делим уравнение на 2.

х² - 6 х - 16 = 0

Решаем уравнение через дискриминант.

D = 36 + 64 = 100 (кв. корень равен 10)

х₁ = (6 + 10) / 2 = 16/2 = 8

х₂ = (6 - 10) / 2 = - 4/2 = - 2

Проверяем соответствие ОДЗ:

х не равен 2, - 4, 4.

Ответ: х = - 2, х = 8.

4/х - 2 + 1/х + 4 = 3/х - 4.

Перенесем все неизвестные слагаемые в исходном уравнении в левую его часть, а известные - в правую. Решим получившееся уравнение.

4/x + 1/x - 3/x = - 4 - 4 + 2.

2/x = - 6.

x = 2 / (-6).

x = - 2/6.

Сократим дробь на 2.

x = - ⅓.

Ответ: x = - ⅓.