В геометрической прогрессии седьмой член равен 27, десятый член равен 729. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии.

Формула общего члена геометрической прогрессии:

bn = b1 · q^ (n - 1), где q - знаменатель прогрессии, n - порядковый номер члена прогрессии.

b7 = b1 · q^6;

b10 = b1 · q^9;

b1 · q^6 = 27 (1);

b1 · q^9 = 729 (2);

Разделим (2) на (1);

q^3 = 27;

q = 3;

b1 = 27 / (q^6) = 27 / (3^6) = 1/27;

Сумма первых 10 членов прогрессии:

S10 = b1 · (q^10 - 1) / (q - 1) = (1/27) · (3^10 - 1) / (3 - 1) = (1/27) (3^10 - 1) / 2 = (3^7 - 1/27) / 2 = (2187 - 1/27) / 2 = (2186 26/27) / 2 = 1093 13/27.

Ответ: S10 = 1093 13/27.