F (x) = x^4-5x^3+3x^2+5x^-4 комплексные числа, разложить многочлен на линейные множители

1. Сгруппируем многочлен:

f (x) = x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 5x - 4; f (x) = (x^4 + 3x^2 - 4) - 5x (x^2 - 1).

2. Разложим трехчлен на множители:

D = 3^2 + 4 * 4 = 25; x^2 = (-3 ± √25) / 2 = (-3 ± 5) / 2;

1) x^2 = (-3 - 5) / 2 = - 8/2 = - 4;

2) x^2 = (-3 + 5) / 2 = 2/2 = 1;

x^4 + 3x^2 - 4 = (x^2 + 4) (x^2 - 1).

3. Вынесем множитель (x^2 - 1) за скобки:

f (x) = (x^2 + 4) (x^2 - 1) - 5x (x^2 - 1); f (x) = (x^2 - 1) (x^2 + 4 - 5x); f (x) = (x^2 - 1) (x^2 - 5x + 4).

4. Корни трехчлена:

D = 5^2 - 4 * 4 = 9 = 3^2; x = (5 ± 3) / 2; x1 = (5 - 3) / 2 = 1; x2 = (5 + 3) / 2 = 4.

5. Получим разложение:

f (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 1) (x - 4); f (x) = (x + 1) (x - 1) ^2 (x - 4).

Ответ: (x + 1) (x - 1) ^2 (x - 4).